1. Падежи имен существительных: лесу - дательный падеж, дятел - именительный падеж, дятел - именительный падеж, дереве - предложный падеж, ствол - винительный падеж, кору - винительный падеж, коготками - творительный падеж, хвостик - винительный падеж, стволу - дательный падеж, дерева - родительный падеж, клювом - творительный падеж, дятел - именительный падеж, дерево - винительный падеж, корой - творительный падеж, вредителя - винительный падеж, деревья - винительный падеж.
2. Предлоги: по, впереди, на, за, по, под.
3. Окончания имен существительных: лесу - у, дятел - нулевое окончание, дереве - е, ствол - нулевое окончание, кору - у, коготками - ами, хвостик - нулевое окончание, стволу - у, дерева - а, клювом - ом, дятел - нулевое окончание, дерево - о, корой - ой, вредителя - я, деревья - я.
4. Разбор предложения по членам: раздолбит - сказуемое (выражено глаголом), дятел - подлежащее (выражено существительным), дерево-дополнение (выражено существительным), найдет - сказуемое (выражено глаголом), корой - дополнение (выражено существительным), вредителя - дополнение (выражено существительным), съест - сказуемое (выражено глаголом).