Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала записать уравнение в стандартной форме. В данном случае у нас есть: y'' + 5y' = 0. Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение, связанное с данным дифференциальным уравнением. Оно выглядит так: r^2 + 5r = 0. Шаг 2: Решим характеристическое уравнение. Факторизируем его: r(r + 5) = 0. Таким образом, корни будут r1 = 0 и r2 = -5. Шаг 3: Теперь запишем общее решение дифференциального уравнения. Для различных корней характеристического уравнения решение будет иметь вид: y(x) = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x). Подставляем корни: y(x) = C1 * e^(0 * x) + C2 * e^(-5x) = C1 + C2 * e^(-5x). Шаг 4: Теперь задать начальные условия. Через начальные условия, которые нам даны: y(0) = 2 и y'(0) = 3, мы найдем константы C1 и C2. Сначала найдем производную: y'(x) = 0 + C2 * (-5) * e^(-5x) = -5C2 * e^(-5x). Теперь подставим начальные условия: 1. При x = 0: y(0) = C1 + C2 = 2. 2. При x = 0: y'(0) = -5C2 = 3, откуда C2 = -3/5. Теперь подставим значение C2 в первое уравнение: C1 - 3/5 = 2, откуда C1 = 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5. Итак, значения констант: C1 = 13/5, C2 = -3/5. Теперь наше общее решение с учётом начальных условий будет: y(x) = 13/5 - 3/5 * e^(-5x).
