Прошу содействия в выполнении задачи 12 класса: - вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси оy фигуры, ограниченной линиями: y=x+1,y=0,x+y=1 .
Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси оy фигуры, ограниченной линиями: y=x+1,y=0,x
- Автор темы Quce
- Дата начала
Конечно, мы можем вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y=x+1, y=0 и x+y=1. Для начала определим границы интегрирования. Найдем точки пересечения кривых. Сначала найдем точку пересечения кривых y=x+1 и x+y=1. Решим систему уравнений: y=x+1 x+y=1 Путем сложения уравнений получим: 2y = 2 y = 1 Затем найдем соответствующее значение x, подставив y=1 в уравнение x+y=1: x + 1 = 1 x = 0 Таким образом, точка пересечения равна (0, 1). Теперь у нас есть точка пересечения кривых y=x+1 и x+y=1. Теперь найдем точки пересечения этих кривых с осью Oy. Когда y=0, уравнение y=x+1 принимает вид x=-1, следовательно, точка пересечения с осью Oy равна (-1, 0). Итак, у нас есть три точки: (-1, 0), (0, 1) и точка пересечения x+y=1. Теперь мы можем найти объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Oy, используя метод цилиндров. Объем тела вращения вокруг оси Oy может быть вычислен с использованием интеграла: V = ∫[a, b] A
dy Где A - площадь поперечного сечения, а [a, b] - интервал, в котором движется y. Для данной задачи площадь поперечного сечения будет равна π * r^2, где r - расстояние от точки на кривой до оси вращения Oy. Теперь найдем формулу для р: Расстояние r между точкой на кривой и осью Oy можно найти как разность между x-координатой точки и координатой оси Oy. Таким образом, r = |x|. Теперь мы можем выразить x через y в уравнениях кривых и затем подставить его в формулу для r. Из уравнения y=x+1 находим x=y-1. Теперь можем выразить r через y: r = |y-1|. Теперь у нас есть выражение для A и r, и мы можем рассчитать объем тела вращения. V = π * ∫[0, 1] (|y-1|)^2 dy Теперь нужно вычислить этот интеграл. V = π * ∫[0, 1] (y-1)^2 dy = π * ∫[0, 1] (y^2 - 2y + 1) dy = π * (1/3 * y^3 - y^2 + y) |[0, 1] = π * (1/3 * 1^3 - 1^2 + 1) - π * (1/3 * 0^3 - 0^2 + 0) = π * (1/3 - 1 + 1) - π * (0) = π * (1/3) Таким образом, объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Oy, равен π/3. Итак, объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y=x+1, y=0 и x+y=1, равен π/3.
dy Где A - площадь поперечного сечения, а [a, b] - интервал, в котором движется y. Для данной задачи площадь поперечного сечения будет равна π * r^2, где r - расстояние от точки на кривой до оси вращения Oy. Теперь найдем формулу для р: Расстояние r между точкой на кривой и осью Oy можно найти как разность между x-координатой точки и координатой оси Oy. Таким образом, r = |x|. Теперь мы можем выразить x через y в уравнениях кривых и затем подставить его в формулу для r. Из уравнения y=x+1 находим x=y-1. Теперь можем выразить r через y: r = |y-1|. Теперь у нас есть выражение для A и r, и мы можем рассчитать объем тела вращения. V = π * ∫[0, 1] (|y-1|)^2 dy Теперь нужно вычислить этот интеграл. V = π * ∫[0, 1] (y-1)^2 dy = π * ∫[0, 1] (y^2 - 2y + 1) dy = π * (1/3 * y^3 - y^2 + y) |[0, 1] = π * (1/3 * 1^3 - 1^2 + 1) - π * (1/3 * 0^3 - 0^2 + 0) = π * (1/3 - 1 + 1) - π * (0) = π * (1/3) Таким образом, объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Oy, равен π/3. Итак, объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y=x+1, y=0 и x+y=1, равен π/3.