. в треугольнике abc. проведены отрезки bm к стороне ac и af к стороне bc. данны

Прошу содействия в выполнении задачи 9 класса: - . в треугольнике abc. проведены отрезки bm к стороне ac и af к стороне bc. данные отрезки пересекаются в точке t. найди отношение площади четырёхугольника tfcm к площади треугольника atb, если = am=cm, ∠ = ∠ ∠caf=∠baf, : = 1 : 4 ab:ac=1:4. введи ответ

 

[Mad Irishman]

Для решения построим рисунок (http://bit.ly/3UrjX3L). Так как АМ = СМ, то ВМ медиана треугольника. Пусть Sавс = Х, тогда Sавм = Sвсм = Х/2. Угол CАF = BAF, тогда АF биссектриса. По условию, АВ/АС = 1/4, тогда, по свойству биссектрисы, BF/CF = 1/4. Тогда Sacf = 4 * Sabf. 5 * Sabf + Sавс = Х. Sавf = X/5. АВ/АМ = 1/2, тогда ВТ/МТ = 1/2. Тогда Sамт = 2 * Saвт. 2 * Saвт + Sавт = Х/2. Sавт = X/6. Sвтf = Saвf – Sавт = Х/6 – Х/5 = Х/30. Тогда Sтfсм = Sвсм – Sвтf = Х/2 – Х/30 = 14 * Х/30 = 7 * Х/15. Sтfсм/Sавт = (7 * Х/15) / (Х/6) = 7 * 6/15 = 14/5. Ответ: Отношение площадей 14/5.