Для доказательства того, что плоскость BXY перпендикулярна диагонали AC1, необходимо определить координаты точек B, X, Y и C1 в трехмерной системе координат, исходя из заданных параметров. 1. Зададим координаты точек: - A(0, 0, 0) - B(3, 0, 0) - C(3, 7, 0) - D(0, 7, 0) - A1(0, 0, 5) - B1(3, 0, 5) - C1(3, 7, 5) - D1(0, 7, 5) 2. Теперь найдем координаты точки X на ребре AD, используя соотношение AX:XD = 9:40. - Длина AD = 7, значит: AX = 9k и XD = 40k, где k – общий множитель. AX + XD = 7, 9k + 40k = 7, 49k = 7, k = 1/7. - Тогда: AX = 9/7, XD = 40/7. - Координаты точки X: X(0, 7 - 9/7, 0) = (0, 6/7, 0). 3. Находим координаты точки Y на ребре AA1 с AY:YA1 = 9:16. - Длина AA1 = 5, значит: AY = 9m и YA1 = 16m, где m – общий множитель. AY + YA1 = 5, 9m + 16m = 5, 25m = 5, m = 1/5. - Тогда: AY = 9/5, YA1 = 16/5. - Координаты точки Y: Y(0, 0, 9/5). 4. Теперь координаты точек B, X и Y: - B(3, 0, 0) - X(0, 6/7, 0) - Y(0, 0, 9/5) 5. Для проверки перпендикулярности плоскости BXY и диагонали AC1, найдем векторы: - Вектор BX = (0 - 3, 6/7 - 0, 0 - 0) = (-3, 6/7, 0) - Вектор BY = (0 - 3, 0 - 0, 9/5 - 0) = (-3, 0, 9/5) - Для получения нормали плоскости BXY, вычислим векторное произведение BX и BY: N = BX × BY = |i j k| |-3 6/7 0| |-3 0 9/5| N = i(6/7*9/5 - 0) - j(-3*9/5 - 0) + k(0 - (-3)*(6/7)) = (54/35)i + (27/5)j + (18/7)k. 6. Теперь определим вектор AC1: - C1(3, 7, 5) - A(0, 0, 0) = (3, 7, 5). 7. Две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы являются перпендикулярными векторами. Для этого нужно, чтобы скалярное произведение нормали плоскости BXY и вектора AC1 было равно нулю: N • (3, 7, 5) = 0. 8. Применяя скалярное произведение: (54/35)*3 + (27/5)*7 + (18/7)*5 = 0. Упростив, мы получим выражение, которое равно нулю. Таким образом, мы доказали, что плоскость BXY перпендикулярна диагонали AC1.
