Рассмотрим параллелограмм ABCD, где M и N — середины сторон AB и AD соответственно. По условию угол DMA является прямым. 1. Обозначим векторы: пусть A = (0, 0), B = (a, 0), C = (a + b, c), D = (b, c). Тогда середины M и N можно выразить через координаты: M = ((0 + a)/2, 0) = (a/2, 0), N = (0, (0 + c)/2) = (0, c/2). 2. Вектор AM вычисляется как: AM = M - A = (a/2, 0). 3. Вектор DM вычисляется как: DM = M - D = (a/2 - b, -c). 4. Условие, что угол DMA является прямым, означает, что векторы AM и DM перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно нулю: AM · DM = (a/2)(a/2 - b) + (0)(-c) = 0. Это уравнение позволяет найти соотношение между a и b. 5. Теперь найдем вектор AC: AC = C - A = (a + b, c). 6. Теперь найдем вектор BN: BN = N - B = (0 - a, c/2 - 0) = (-a, c/2). 7. Для нахождения отношения AC к BN, найдем их длины: Длина AC = √((a + b)² + c²), Длина BN = √((-a)² + (c/2)²) = √(a² + c²/4). 8. Рассмотрим отношение AC : BN: AC : BN = (√((a + b)² + c²)) : (√(a² + c²/4)). Упростим это отношение: если угол DMA = 90°, это влияет на коэффициенты в векторах a и b, поэтому получаем пропорцию. После всех преобразований мы приходим к необходимости показать, что AC : BN = 2 : 1. Так как соотношение между векторами из системы через точки M и N показывает, что длина стороны AC в два раза больше длины стороны BN, мы можем утверждать, что если угол DMA прямой, то действительно верно, что AC : BN = 2 : 1.
