Требуется найти угол х, удовлетворяющий уравнению:
sin (х) = -1;
Единичная окружность и синус угла
На координатной плоскости с началом координат О, осями абсцисс Оx и ординат Оy построим окружность с центром О и радиусом, равным единице. Эта единичная окружность пересекает оси Оx и Оу в точках:
A = (1; 0); B = (0; 1); C = (-1; 0); D = (0; -1);
Возьмем на ней точку M с координатами x0 и y0:
M = (x0; y0);
Угол α, между радиусами окружности ОА и ОМ, отсчитанный от ОА к ОМ по направлению, противоположному направлению движения часовой стрелки, считается положительным. Координату y0 точки М на единичной окружности называют синусом угла α:
y0 = sin (α);
Вычисление угла х
Необходимо:
- определить множество всех точек на плоскости с ординатой (-1);
- найти точки на единичной окружности, у которых y0 = -1;
- вычислить требуемый угол х.
Множество точек на плоскости с ординатой (-1) представляет собой прямую линию, параллельную оси Ox и проходящую через точку с координатами (0; -1). Это касательная прямая для единичной окружности и пересекается с ней только в точке D. Значит, искомый угол равен углу в 270° между радиусами OA и ОD в направлении против часовой стрелки. Если двигаться от точки А вдоль окружности по или против часовой стрелки, сделав n полных кругов вокруг начала координат, и остановиться в точке D, то отмеренный угол x, будет равен:
х = 270° + n * 360°;
или в радианах
х = 3/2 * π + 2 * π * n;
где n – произвольное целое число (n ∈ Z).
Ответ: х = 3/2 * π + 2 * π * n; n ∈ Z
