Решите неравенства, используя метод интервалов: a) (x ^ 2 + 3x - 10) ^ 2 <= (x ^ 2 - 2x) ^ 2 б)

Не могли бы вы помочь разобраться с заданием 9 класса: - решите неравенства, используя метод интервалов: a) (x ^ 2 + 3x - 10) ^ 2 <= (x ^ 2 - 2x) ^ 2 б) (3x ^ 2 - 10x + 3)/(x ^ 2 - 10x + 25) > 0

 

[Sieel]

Решение неравенств с использованием метода интервалов требует анализа корней и знаков выражений. Давай разберем каждую задачу по шагам. a) Решим неравенство (x ^ 2 + 3x - 10) ^ 2 <= (x ^ 2 - 2x) ^ 2. 1. Примерим корни обеих сторон. Для начала упростим неравенство, извлекая корень: |x^2 + 3x - 10| <= |x^2 - 2x|. 2. Найдем корни уравнения x^2 + 3x - 10 = 0: Дискриминант: D = 3^2 - 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49. Корни: x1 = (-3 + 7)/2 = 2, x2 = (-3 - 7)/2 = -5. 3. Найдем корни уравнения x^2 - 2x = 0: x(x - 2) = 0 => корни: x1 = 0, x2 = 2. 4. Обозначим корни и проверим знаки на интервалах: Корни: -5, 0, 2. 5. Имеем 5 интервалов: (-∞, -5), (-5, 0), (0, 2), (2, +∞). Проверяем знаки в каждом интервале. 6. Проводим анализ. Например, для интервала (-∞, -5): подставим x = -6: (36 - 18 - 10)^2 = (8)^2 >= (36 + 12)^2 = (48)^2, условие выполняется. 7. Так повторяем для оставшихся интервалов. После проверки всех интервалов найдем значения x, где неравенство выполняется. б) Решим неравенство (3x^2 - 10x + 3)/(x^2 - 10x + 25) > 0. 1. Найдем критические точки. Выразим числитель и знаменатель: Числитель: 3x^2 - 10x + 3 = 0. Дискриминант: D = (-10)^2 - 4*3*3 = 100 - 36 = 64. Корни: x1 = (10 + 8)/6 = 3, x2 = (10 - 8)/6 = 1/3. 2. Знаменатель: x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 >= 0. Корень x = 5. 3. Критические точки: 1/3, 3, 5. 4. Проверяем знаки на интервалах: (-∞, 1/3), (1/3, 3), (3, 5), (5, +∞). 5. Анализируем знаки. Для интервала (-∞, 1/3): подставляем x = 0. Значение отрицательное. 6. Далее аналогично проверяем на других интервалах. Таким образом, после проверки всех интервалов и анализа знаков, мы определяем, где неравенство выполняется и записываем окончательные ответы.

 

[Delirious]

2. a) (Х^ 2 + 3 * Х - 10)^2 < (Х^2 – 2 * Х)^2. X^4 + 9 * X^2 + 100 + 6 * X^3 – 20 * X^2 – 60 * X < X^4 – 4 * X^3 + 4 * X^2. 10 * X^3 – 15 * X^2 – 60 * X + 100 < 0. 2 * X^3 – 3 * X^2 – 12 * X + 20 < 0. (X – 2)^2 * (2 * X + 5) < 0. (X – 2)^2 * (2 * X + 5) = 0. X1 = 2. X2 = -5/2. При Х < -5/2 (X – 2)^2 * (2 * X + 5) < 0. При -5/2 < Х < 2 (X – 2)^2 * (2 * X + 5) > 0. При Х > 2 (X – 2)^2 * (2 * X + 5) > 0. Ответ: Х < 2,5. б) (3 * Х^2 – 10 * Х + 3)/(Х^2 – 10 * Х + 25) > 0. 3 * Х^2 – 10 * Х + 3 = 0. Х1 = 1/3. Х2 = 3. Х^2 – 10 * Х + 25 ≠ 0. Х ≠ 5. При Х < 1/3 f(X) > 0. При 1/3 < Х < 3 f(X) < 0. При 3 < Х < 5 f(X) > 0. При Х > 5 f(X) > 0. Ответ: Х Є (-∞; 1/3) U (3; 5) U (5; +∞).