Чтобы найти объем тела, полученного вращением вокруг оси y между кривыми y = x^2 и y = x, нужно использовать метод диск или цилиндрических оболочек. 1. Найдем точки пересечения кривых y = x^2 и y = x. Для этого приравняем их: x^2 = x x^2 - x = 0 x(x - 1) = 0 Таким образом, точки пересечения находятся в x = 0 и x = 1. 2. Объем окрестности оси y вычисляется по формуле: V = π ∫[a, b] (R^2 - r^2) dx, где R – радиус внешней кривой, а r – радиус внутренней кривой. В данном случае: - Внешняя кривая: y = x (для x от 0 до 1). - Внутренняя кривая: y = x^2. 3. Подставим в формулу: V = π ∫[0, 1] [(x)^2 - (x^2)^2] dx = π ∫[0, 1] (x^2 - x^4) dx. 4. Теперь найдём интеграл: ∫ (x^2 - x^4) dx = (1/3)x^3 - (1/5)x^5 + C. 5. Подставляем пределы интегрирования: V = π [(1/3)(1)^3 - (1/5)(1)^5 - (1/3)(0)^3 + (1/5)(0)^5]. V = π [(1/3) - (1/5)] = π [5/15 - 3/15] = π (2/15). Таким образом, объем тела, полученного вращением области, ограниченной кривыми y = x^2 и y = x вокруг оси y, равен (2/15)π кубических единиц.
