Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции z = x^2y(4 - x - y) на заданной ограниченной области D, необходимо рассмотреть её границы и критические точки в области. Первым делом найдем частные производные функции z по переменным x и y и приравняем их к нулю. 1. Найдем частные производные: ∂z/∂x = 2xy(4 - x - y) - x^2y = y(2(4 - x - y) - xy) ∂z/∂y = x^2(4 - x - 2y) 2. Теперь решим систему уравнений, приравняв производные к нулю: y(2(4 - x - y) - x) = 0 (1) x^2(4 - x - 2y) = 0 (2) Из уравнения (2) видно, что x = 0 или 4 - x - 2y = 0. Если x = 0, то z = 0. Решим второе уравнение: 4 - x - 2y = 0 => 2y = 4 - x => y = (4 - x)/2 Подставим это в уравнение (1): y(2(4 - x - y) - x) = 0 Поскольку y ≠ 0 (иначе z = 0), решаем: 2(4 - x - (4 - x)/2) - x = 0 2(4 - x - 2 + x/2) = x 8 - 2x - 4 + x = x 4 - x = 0 => x = 4 => y = 0 Но заметим, что эта точка выходит за границы области D, поскольку область определена условиями y=0, x=0, y=6-x. Между 0 и 4 точка не удовлетворяет условиям границы. Теперь рассмотрим граничные условия: - При y = 0: z = x^2 * 0 (z = 0) - При x = 0: z = 0 - При y = 6 - x: z = x^2(6 - x)(4 - x - (6 - x)) = x^2(6 - x)(-2) = -2x^2(6 - x) Теперь найдем производную функции z = -2x^2(6 - x) по x и найдем максимумы и минимумы: ∂z/∂x = -2(6 - x)(2x) + 2x^2 = -12 + 4x + 2x^2 Установим = 0: -12 + 4x + 2x^2 = 0 2x^2 + 4x - 12 = 0 x^2 + 2x - 6 = 0 Находим дискриминант: D = 2^2 - 4 * 1 * (-6) = 4 + 24 = 28. Решая уравнение, получаем: x_1 = (-2 + √28)/2 = -1 + √7, x_2 = (-2 - √28)/2 = -1 - √7 (не подходит). Подставим это значение x в y = 6 - x и вычислим z: x ≈ 1.646. y ≈ 4.354. После чего подставим в функцию для нахождения z. Также просчитаем значения z на граничных точках, например, (0,0), (0,6), (4,0). После всех этих вычислений ты сможешь найти нужные наибольшее и наименьшее значения z. Не забудь учесть, что наибольшее значение соответствует максимальному результату, а наименьшее — минимальному между всеми просчитанными z.
