Написание окончания прилагательного синий зависит от того, в форме какого падежа стоит данное прилагательное. Если прилагательное отвечает на вопрос каким?и стоит в форме творительного падежа, то правильно пишется синим, окончание -им. Если прилагательное отвечает на вопрос о каком?и стоит в форме предложного падежа, то правильно пишется синем, окончание -ем.
