Можете навести на мысль, как решить это 9 класса: - докажите, что последовательность a𝑛 = 20/(𝑛^2 − 14𝑛 + 50) является ограниченной и найдите её наибольший член.
Докажите, что последовательность a𝑛 = 20/(𝑛^2 − 14𝑛 + 50) является ограниченной и найдите её наиб
- Автор темы Man
- Дата начала
Чтобы доказать, что последовательность aₙ = 20/(n² - 14n + 50) является ограниченной, нужно исследовать её поведение для различных значений n. Шаг 1: Найдём нули знаменателя для того, чтобы удостовериться, что последовательность не определена на них. Для этого решим уравнение n² - 14n + 50 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = (-14)² - 4 * 1 * 50 = 196 - 200 = -4, что меньше нуля. Это означает, что знаменатель никогда не равен нулю, и последовательность определена для всех натуральных n. Шаг 2: Теперь проанализируем знак и поведение aₙ. Поскольку числитель всегда положителен (20 > 0), а знаменатель n² - 14n + 50 является квадратичной функцией, необходимо найти его минимум. Шаг 3: Минимум квадратичной функции f
= n² - 14n + 50 находится в точке n = -b/(2a) = 14/(2*1) = 7. Подставляем значение n = 7 в функцию: f(7) = 7² - 14*7 + 50 = 49 - 98 + 50 = 1. Таким образом, минимальное значение знаменателя равно 1. Шаг 4: Теперь найдем максимум последовательности aₙ. Это произойдет, когда знаменатель меньше всего, то есть равен 1: aₙ = 20 / 1 = 20. Шаг 5: Мы выяснили, что aₙ стремится к 20, и будет уменьшаться, когда n увеличивается. При больших n, n² становится доминирующим членом, и aₙ будет стремиться к 0. Итак, последовательность aₙ = 20/(n² - 14n + 50) является ограниченной, её наибольший член равен 20, который достигается при n = 7.
= n² - 14n + 50 находится в точке n = -b/(2a) = 14/(2*1) = 7. Подставляем значение n = 7 в функцию: f(7) = 7² - 14*7 + 50 = 49 - 98 + 50 = 1. Таким образом, минимальное значение знаменателя равно 1. Шаг 4: Теперь найдем максимум последовательности aₙ. Это произойдет, когда знаменатель меньше всего, то есть равен 1: aₙ = 20 / 1 = 20. Шаг 5: Мы выяснили, что aₙ стремится к 20, и будет уменьшаться, когда n увеличивается. При больших n, n² становится доминирующим членом, и aₙ будет стремиться к 0. Итак, последовательность aₙ = 20/(n² - 14n + 50) является ограниченной, её наибольший член равен 20, который достигается при n = 7.