Разложим выражение на множители:
n^5 - n = n * (n^4 - 1) = n * (n^2 - 1) * (n^2 +1) = (n-1) * n * (n +1) * (n^2 +1).
Заметим, что в разложении на множители есть 3 последовательных числа:
n - 1, n, n + 1.
Это означает, что хотя бы одно из них делится на 2 и хотя бы одно из них делится на 3.
Следовательно, выражение делится на 2 * 3 = 6.
Предположим, что n = 5 * k + L, где L - остаток от деления на 5. Рассмотрим все случаи:
1. Если L = 0, то n делится на 5. Значит выражение делится на 5.
2. Если L = 1, то n - 1 = 5 * k. Значит выражение делится на 5.
3. Eсли L = 2.
(n^2 +1) = (5 * L + 2) ^2 +1 = 25 * L + 20 * L + 4 + 1 = 5 * (5 *L + 4 * L + 1).
Значит выражение делится на 5.
4. Eсли L = 3.
(n^2 +1) = (5 * L + 3) ^2 +1 = 25 * L + 30 * L + 9 + 1 = 5 * (5 *L + 6 * L + 2).
Значит выражение делится на 5.
5. Если L = 4, то n + 1 = 5 * k + 5. Значит выражение делится на 5.
Значит, выражение всегда делится 5 и на 6. Значит делится на 30.
