В параллелограмме MNKL биссектрисы углов имеют интересное свойство: они делят противоположные стороны в отношении, равном отношению длин смежных сторон. В данном случае, нам даны отрезки NP и PK. Так как NP=9 NP = 9 NP=9 и PK=15 PK = 15 PK=15, отношение можно выразить как: NPPK=915=35 \frac{NP}{PK} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} PKNP=159=53. Обозначим длины сторон параллелограмма MNKL как a a a и b b b, где a=MN=KL a = MN = KL a=MN=KL и b=NK=ML b = NK = ML b=NK=ML. Согласно свойству биссектрисы, имеем: ba=35 \frac{b}{a} = \frac{3}{5} ab=53 или 5b=3a 5b = 3a 5b=3a. Теперь, когда мы знаем отношение сторон, можно выразить одну сторону через другую. Пусть b=3k b = 3k b=3k, тогда: a=5k a = 5k a=5k. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле: P=2(a+b)=2(5k+3k)=2(8k)=16k P = 2(a + b) = 2(5k + 3k) = 2(8k) = 16k P=2(a+b)=2(5k+3k)=2(8k)=16k. Теперь для нахождения k k k используем отрезки NP NP NP и PK PK PK. По свойству биссектрисы, сумма этих отрезков равна половине периметра, поэтому: NP+PK=12P NP + PK = \frac{1}{2} P NP+PK=21P. Подставим известные значения: 9+15=12P 9 + 15 = \frac{1}{2} P 9+15=21P. Это дает нам: 24=12P 24 = \frac{1}{2} P 24=21P или P=48 P = 48 P=48. Таким образом, периметр параллелограмма MNKL равен 48.
