Для вычисления определителя матрицы A: | 2 1 -1 -1 | | 15 11 1 -1 | | 1 2 4 -4 | | 2 3 4 3 | а) Используя разложение по элементам первой строки. Определитель (det) разложим по первым элементам первой строки. Тогда: det(A) = 2 * det(A11) - 1 * det(A12) - (-1) * det(A13) - (-1) * det(A14), где Aij — это матрица, полученная из A удалением i-й строки и j-го столбца. Вычислим соответствующие 3x3 определители: 1. A11 (удалены 1-я строка и 1-й столбец): | 11 1 -1 | | 2 4 -4 | | 3 4 3 | det(A11) = 11*(4*3 - (-4)*4) - 1*(2*3 - (-4)*4) - (-1)*(2*4 - 3*4) = 11*(12 + 16) - (6 + 16) + (8 - 12) = 11*28 - 22 - 4 = 308 - 22 - 4 = 282. 2. A12 (удалены 1-я строка и 2-й столбец): | 15 1 -1 | | 1 4 -4 | | 2 4 3 | det(A12) = 15*(4*3 - (-4)*4) - 1*(1*3 - (-4)*(-1)) - (-1)*(1*4 - 2*(-1)) = 15*(12 + 16) - (3 - 4) + (4 + 2) = 15*28 + 1 + 6 = 420 + 7 = 427. 3. A13 (удалены 1-я строка и 3-й столбец): | 15 11 -1 | | 1 2 -4 | | 2 3 3 | det(A13) = 15*(2*3 - (-4)*3) - 11*(1*3 - (-4)*(-1)) - (-1)*(1*2 - 2*(-1)) = 15*(6 + 12) - 11*(3 - 4) + (2 + 2) = 15*18 + 11 + 4 = 270 + 15 = 285. 4. A14 (удалены 1-я строка и 4-й столбец): | 15 11 1 | | 1 2 4 | | 2 3 4 | det(A14) = 15*(2*4 - 4*3) - 11*(1*4 - 4*2) + 1*(1*3 - 2*2) = 15*(8 - 12) - 11*(4 - 8) + (3 - 4) = 15*(-4) + 11*4 - 1 = -60 + 44 - 1 = -17. Теперь подставим найденные значения в формулу для вычисления определителя: det(A) = 2*282 - 1*427 + 1*285 + 1*(-17) = 564 - 427 + 285 - 17 = 405. Таким образом, определитель матрицы A равен 405. б) Понижение порядка. Определитель 4x4 матрицы можно вычислить через определители 3x3 матриц, которые образуются удалением одной строки и одного столбца. Например, мы уже вычислили соответствующие 3x3 определители выше, и можем использовать один из них, чтобы найти определитель. После понижения порядка, мы уже оценили определители A11, A12, A13 и A14 и можем выразить определитель 4x4 через них, как это было сделано в пункте а). Также, можно воспользоваться правилами определителя при понижении порядка, но так как мы уже вычислили их, результат остается прежним. Итак, определитель матрицы A по методу понижения порядка точно так же равен 405.
