В треугольнике abc точка k на стороне ac, точка p на стороне bc. ap и bk пересекаются в точке o. ak=

Не могли бы вы помочь разобраться с заданием 8 класса: - в треугольнике abc точка k на стороне ac, точка p на стороне bc. ap и bk пересекаются в точке o. ak=(1/3)*ac, bp=(2/3)*bc. площадь треугольника abc равна s. найти: 1) ao/op 2) bo/ok 3) площадь треугольника aok 4) площадь треугольника bop

 

[Бригадир]

1) Для нахождения отношения AO/OP применим теорему о среднем отношении. По теореме менделеевой (или теореме о пересекающихся секущих) имеем: AO / OP = AK / KC, где KC = AC - AK. Так как AK = (1/3)AC, то KC = AC - (1/3)AC = (2/3)AC. Следовательно, AO / OP = (1/3)AC / (2/3)AC = 1/2. 2) Для нахождения отношения BO/OK также применим теорему о среднем отношении. Получаем: BO / OK = BP / PC, где PC = BC - BP. Так как BP = (2/3)BC, то PC = BC - (2/3)BC = (1/3)BC. Следовательно, BO / OK = (2/3)BC / (1/3)BC = 2. 3) Площадь треугольника AOK можно выразить через площадь треугольника ABC. Площадь AOK составит 1/(1 + AO/OP) из площади ABC. Поскольку AO/OP = 1/2, тогда: Площадь AOK = S / (1 + 1/2) = S / (3/2) = (2/3)S. 4) Площадь треугольника BOP также можно выразить через площадь треугольника ABC. Площадь BOP составит 1/(1 + BO/OK) из площади ABC. Поскольку BO/OK = 2, тогда: Площадь BOP = S / (1 + 2) = S / 3. Таким образом, мы имеем следующие ответы: 1) AO/OP = 1/2 2) BO/OK = 2 3) Площадь AOK = (2/3)S 4) Площадь BOP = (1/3)S.

 

[Aleksei]

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3ZQ7o6c). Пусть АК = Х, тогда СК = 2 * Х, АС = 3 * Х. Пусть СР = У, тогда ВР = 2 * У, ВС = 3 * У. Для треугольника ВСК, по теореме Менелая: СР/РВ * ВО/ОК * АК/АС = 1. У/2 * У * ВО/ОК * Х/3 * Х = 1. ВО/ОК * (1/2) * (1/3) = 1. ВО/ОК * 1/6 = 1. ВО/ОК = 6. Для треугольника АРС, по теореме Менелая: СК/КА * АО/ОР * РВ/ВС = 1. 2 * Х/Х * АО/ОР * 2 * У/3 * У = 1. АО/ОР = 3/4. Sавк = (2/3) * Sавс = 2 * S/3. Sаок = (1/7) * Sавк = (2/21) * S. Sавр = (2/3) * Sавс = 2 * S/3. Sвор = (4/7) * Sвор = 8 * S/21.