В остром угольном треугольнике ABC, где высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H (ортоцентре), необходимо доказать, что С1H = C1K, где K - точка пересечения продолжения высоты CC1 и окружности, описанной около треугольника ABC. Краткий ответ заключается в том, что отрезок C1H равен отрезку C1K, поскольку точка K лежит на окружности, и в этом случае отрезок C1K является радиусом окружности. Теперь рассмотрим более подробно: 1. Высота CC1, проведенная из вершины C, перпендикулярна основанию AB. Это значит, что точка C1 находится на линии, перпендикулярной AB и проходит через C. 2. Центр описанной окружности O треугольника ABC является точкой пересечения перпендикуляров, проведенных из вершин треугольника к противолежащим сторонам. 3. Когда мы продолжаем высоту CC1 до его пересечения с окружностью, получаем точку K. Поскольку K расположена на окружности, и радиусы от центра O до точек окружности равны, то OC1 = OK. 4. Рассмотрим треугольник OC1K. Поскольку C1H перпендикулярно основанию (AB), и CC1 - часть данного перпендикуляра, то высота H, проведенная из точки C1, также будет делить угол на две части. 5. За счет этих свойств получается, что C1H = C1K, так как они оба являются отрезками, проведенными перпендикулярно от C1 к хорде, проведенной через K на окружности. Таким образом, мы доказали, что C1H = C1K.
