В основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб с диагоналями 12 и 12√2. найди объём пирамиды, если

Нужна помощь с решением задачи 10 класса: - в основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб с диагоналями 12 и 12√2. найди объём пирамиды, если все её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.

 

[Jan]

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3UX50YU). Определим площадь ромба в основании пирамиды. Sавсд = АС * ВД/2 = 12 * √2 * 12/2 = 72 * √2 см^2. В прямоугольном треугольнике АОВ, АО = АС/2 = 6 * √2 см, ВО = ВД/2 = 6 см. AB^2 = AO^2 + BO^2 = 72 + 36 = 108. AB = 6 * √3 см. Sавсд = АВ * НМ. НМ = 72 * √2/6 * √3 = 6 * √6 см. ОН = НМ/2 = 3 * √6 см. В прямоугольном треугольнике КОН, tgKOH = tg60 = OK/OH. OK = OH * tg60 = 3 * √6 * √3 = 6 * √2 см. V = (1/3) * Sавсд * ОК = 72 * √2 * 6 * √2/3 = 288 см^2. Ответ: V = 288 см^2.