Точка d лежит вне плоскости равнобедренного треугольника авс (ac = bc). перпендикуляр do к плоскости

Не могли бы вы помочь разобраться с заданием 10 класса: - точка d лежит вне плоскости равнобедренного треугольника авс (ac = bc). перпендикуляр do к плоскости авс падает в центр окружности, вписанной в треугольник авс. найди длину перпендикуляра do, если расстояние от точки d до середины стороны aв треугольника равно 5, ав = 12 и ас = 10.

 

[КОВАРНОЕ ЛАМО]

Обозначим центр вписанной окружности через O, а радиус этой окружности через r. Так как треугольник АВС равнобедренный, то высота, опущенная из вершины С, проходит через центр O. Обозначим ее через h. Из прямоугольного треугольника АОD получаем: OD^2 = AD^2 - AO^2 = (AB/2)^2 + (CD - h)^2 - r^2 Здесь мы использовали тот факт, что точки A, O и B лежат на одной прямой, а также формулу для высоты равнобедренного треугольника: h = sqrt(AC^2 - (AB/2)^2) = sqrt(100 - 36) = sqrt(64) = 8. Из равенства треугольников ABC и ABD следует, что CD = BD = (AB - AC)/2 = 1. Таким образом, мы получаем: OD^2 = 36 + (1 - 8)^2 - r^2 = 13 - r^2 С другой стороны, из прямоугольного треугольника ODC получаем: h^2 + r^2 = DC^2 = (AB - AC)^2/4 = 2^2 = 4 Отсюда следует, что r^2 = 4 - h^2 = 4 - 64 = -60 (мы получаем отрицательное значение, что говорит о том, что точка O лежит вне треугольника). Таким образом, мы имеем: OD^2 = 13 - r^2 = 73 Отсюда следует, что OD = sqrt(73).