Tg^2x*cos^2x-1/3sin^2x,при cosx=1/2

Нужна консультация по заданию 9 класса: - tg^2x*cos^2x-1/3sin^2x,при cosx=1/2

 

[Orel]

Распишем подробно отдельные части выражения. tg^2x = ( tg x )^2 = ( ( sin x )/( cos x ) )^2 = ( ( sin x )^2 )/( ( cos x )^2 ) . Если cos x ≠ 0, тогда: tg^2x * cos^2x = ( ( ( sin x )^2 )/( ( cos x )^2 ) ) * ( cos x )^2 = ( sin x )^2 . Исходное выражение можно записать так: tg^2x * cos^2x - ( 1/3 ) * sin^2x = ( sin x )^2 - ( 1/3 ) * ( sin x )^2 = ( 2/3 ) * ( sin x )^2 . Если cos x = 1/2, тогда sin x = ± √3/2 . ( sin x )^2 = 3/4 ; ( 2/3 ) * ( sin x )^2 = ( 2/3 ) * ( 3/4 ) = 1/2 = 0,5 .

 

[Milka]

Найдем значение выражения tg ^ 2 x * cos ^ 2 x - 1/3 * sin ^ 2 x, при cos x = ½​

Для того, чтобы найти значение выражения, сначала его нужно упростить.
Для упрощения выражения, используем формулы:

• Sin ^ 2 x + cos ^ x = 1;
• Sin ^ 2 x = 1 – cos ^ 2 x;
• Tg ^ 2 x = sin ^ 2 x/cos ^ 2 x.

Тогда получаем:
tg ^ 2 x * cos ^ 2 x - 1/3 * sin ^ 2 x = sin ^ 2 x/cos ^ 2 x * cos ^ 2 x – 1/3 * sin ^ 2 x;
Числитель и знаменатель в дроби sin ^ 2 x/cos ^ 2 x * cos ^ 2 x в правой части выражения сокращаем на cos ^ 2 x, тогда получим:
sin ^ 2 x/cos ^ 2 x * cos ^ 2 x – 1/3 * sin ^ 2 x = sin ^ 2 x/1 * 1 – 1/3 * sin ^ 2 x = sin ^ 2 x – 1/3 * sin ^ 2 x;
Для того, чтобы найти значение выражения, используем следующий порядок действий:

1. Сгруппируем подобные значения;
2. Вынесем за скобки общий множитель;
3. Подставим известное значение в упрощенное выражение.

sin ^ 2 x – 1/sin ^ 2 x;
sin ^ 2 x * (1 – 1/3);
Приведем выражение к общей дроби. Сначала, общий знаменатель делим на каждый знаменатель дроби и умножаем на его числитель. Затем полученную сумму из первой дроби вычитаем полученную сумму из второй дроби. Разность записываем в числителе, а в знаменателе будет общий знаменатель. То есть получаем:
Sin ^ 2 x * (1 * 3 – 1 * 1)/3;
Сначала в порядке очереди находим значение выражения в скобках, затем вычисляем умножение или деление, только потом находим выражения суммы или разности. То есть получаем:
Sin ^ 2 x * (3 – 1)/3 = 2/3 * sin ^ 2 x;
Так как, sin ^ 2 x = 1 – cos ^ 2 x, тогда получим:
2/3 * sin ^ 2 x = 2/3 * (1 – cos ^ 2 x);

Подставим известное значение в упрощенное выражение и вычислим его значение​

2/3 * (1 – cos ^ 2 x) = 2/3 * (1 – (1/2) ^ 2) = 2/3 * (1 – ¼) = 2/3 * (4/4 – ¼) = 2/3 * (4 – 1)/4 = 2/3 * ¾ = 2/1 * ¼ = 2/4 = ½.
Отсюда получили, что выражение tg ^ 2 x * cos ^ 2 x - 1/3 * sin ^ 2 x при cos x = ½ равно ½.