Чтобы найти количество пар натуральных чисел (х, у), которые удовлетворяют уравнению 3х + 4у = 100, мы можем выразить одну переменную через другую и проверить, при каких значениях обе переменные являются натуральными числами. Сначала мы можем переписать уравнение в виде: 4у = 100 - 3х у = (100 - 3х) / 4 Теперь требуется, чтобы (100 - 3х) делилось на 4, а также чтобы х и у были положительными (натуральными) числами. Для того чтобы 100 - 3х было положительным, 3х должно быть меньше 100, следовательно: х < 100 / 3 х < 33.33 Таким образом, х может принимать значения от 1 до 33. Теперь проверим, при каких значениях х выражение (100 - 3х) делится на 4. 100 - 3х должно быть делимо на 4, следовательно: 100 ≡ 0 (mod 4), 3х ≡ 0 (mod 4) Из этого уравнения мы видим, что 3х должно давать в остатке 0 при делении на 4. Поскольку 3 и 4 взаимно простые, х также должно быть кратно 4. Смотрим числа от 1 до 33: это 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32. В этом диапазоне все кратные 4, и их количество: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 – всего 8 значений. Итак, у нас есть 8 натуральных пар (х, у), где каждое значение х соответствует некоторому значению у, найденному из уравнения. Следовательно, существует 8 пар натуральных чисел (х, у), таких что 3х + 4у = 100.
