Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон. Для доказательства этой теоремы рассмотрим два подобных треугольника ABC и A'B'C', которые имеют соответствующие стороны a, b, c и a', b', c'. Поскольку треугольники подобны, существует коэффициент подобия k, который равен отношению соответствующих сторон: k = a / a' = b / b' = c / c'. Теперь найдем площади треугольников. Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона или используя высоты и основание. Рассмотрим более простой случай, где треугольники равны по высоте. Обозначим высоту треугольников через h и h'. Тогда площади треугольников можно выразить как: S = (1/2) * основание * высота. Для треугольника ABC: S_ABC = (1/2) * a * h. Для треугольника A'B'C': S_A'B'C' = (1/2) * a' * h'. Поскольку высоты треугольников также пропорциональны их сторон (в результате подобия), можно сказать, что: h' = h / k. Подставим это значение в формулу площади: S_A'B'C' = (1/2) * a' * (h / k). Теперь подставим a' через a: S_A'B'C' = (1/2) * (a / k) * (h / k) = (1/2) * a * h / k^2. Теперь мы можем выразить отношение площадей двух треугольников: S_ABC / S_A'B'C' = ( (1/2) * a * h ) / ( (1/2) * (a / k) * (h / k) ) = (a * h) / ( (a / k) * (h / k) ) = (a * h * k^2) / (a * h) = k^2. Таким образом, мы получили, что отношение площадей S_ABC и S_A'B'C' равно квадрату коэффициента подобия k. То есть, S_ABC / S_A'B'C' = k^2, что и доказывает теорему об отношении площадей подобных треугольников.
