Для решения данной задачи воспользуемся принципом включения-исключения и теорией о числовых системах. Пусть у нас есть M различных положительных чисел, и мы знаем, что любые 75 из них можно рассматривать как длины сторон некоторого 75-угольника. Это означает, что для любых 75 чисел выполняется неравенство треугольника для каждой тройки чисел. Необходимо установить, при каком наименьшем M > 75 обязательно найдутся три числа, такие что они могут быть длинами сторон некоторого треугольника. Сначала обратим внимание на условие для треугольника: для трех чисел a, b и c необходимо, чтобы выполнялись следующие два условия: 1. a + b > c 2. a + c > b 3. b + c > a Если мы рассмотрим динамику сторон некоторого 75-угольника, то выполняется условие, что сумма любых 74 сторон больше, чем длина оставшейся стороны. Теперь, чтобы найти наименьшее значение M, рассмотрим массив чисел, которые мы можем использовать. Давайте предположим, что у нас есть максимальное количество различных чисел между 1 и n, где n — это величина, отображающая максимальную длину, чтобы не нарушались условия для треугольника. Для обеспечения того, чтобы среди M чисел нашлось как минимум 3, которые могут быть длинами сторон треугольника, нам следует учесть, что из 75 чисел по 75-угольнику необходимо выбирать любые три числа. Принципом, который мы можем использовать здесь, является следующее: если количество чисел равно 75, но отсутствуют три числа, которые могут сформировать треугольник, возможно, что у нас только два числа каждого значения, то есть сослуживцы обещали, что состояние в 1 и 2 не может существовать. Таким образом, мы получаем следующее неравенство: M = 75 + 2 = 77 — это минимальное значение, при котором гарантируется наличие по крайней мере трех сторон, обеспечивающих существование треугольника, поскольку множество определит 75, и для любые другие стороны выберем любую другую. Таким образом, требуемый ответ — это 77.
