Для нахождения уравнений касательных к гиперболе (x^2)/3 + (y^2)/2 = 1, которые параллельны прямой x - y - 5 = 0, нужно выполнить следующие шаги. 1. Приведем уравнение прямой к стандартному виду. Уравнение x - y - 5 = 0 можно записать как y = x - 5, что показывает, что наклон этой прямой равен 1 (это значит, что наклон касательной также будет равен 1). 2. Уравнение касательной к гиперболе в точке (x0, y0) можно записать в виде y - y0 = m(x - x0), где m — производная (наклон) в точке касания. Поскольку мы хотим, чтобы наклон был равен 1, то уравнение касательной будет иметь вид: y - y0 = (x - x0). 3. Найдем производную гиперболы. Приведем исходное уравнение гиперболы к стандартному виду: (x^2)/3 + (y^2)/2 = 1. 4. Найдем частные производные для нахождения производной. Уравнение гиперболы может быть записано как F(x, y) = (x^2)/3 + (y^2)/2 - 1 = 0. Тогда применим метод неявной функции, чтобы получить dy/dx. 5. Различая F по x и y, получаем: (2x)/3 + (2y)(dy/dx)/2 = 0. 6. Из этого уравнения выразим dy/dx: dy/dx = -(2x)/(3y). 7. Подставляя m = 1 (наклон касательной), получаем: 1 = -(2x)/(3y), откуда 2x + 3y = 0 или y = -2/3 x. 8. Теперь нужно найти точки касания гиперболы и прямой y = -2/3 x. Подставим это значение в уравнение гиперболы. Получаем: (x^2)/3 + ((-2/3)x)^2/2 = 1 → (x^2)/3 + (4x^2)/18 = 1 → (6x^2 + 4x^2)/18 = 1. Упрощая, получаем 10x^2 = 18 или x^2 = 18/10 = 9/5 → x = ±√(9/5) = ±(3/√5). 9. Найдем соответствующие значения y: y = -2/3(3/√5) = -2/√5 и y = -2/3(-3/√5) = 2/√5. 10. Таким образом, у нас есть две точки касания: (3/√5, -2/√5) и (-3/√5, 2/√5). 11. Теперь запишем уравнения касательных. Для точки (3/√5, -2/√5): y + 2/√5 = (x - 3/√5) → y = x - 5/√5. Для точки (-3/√5, 2/√5): y - 2/√5 = (x + 3/√5) → y = x + 5/√5. Таким образом, уравнения касательных к гиперболе (x^2)/3 + (y^2)/2 = 1, параллельных прямой x - y - 5 = 0, имеют вид: y = x - 5/√5 и y = x + 5/√5.
