Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x³ - 5x² + 3x, нужно сначала определить производную этой функции. 1. Находим производную f'(x): f'(x) = 3x² - 10x + 3. 2. Затем решаем уравнение f'(x) = 0 для нахождения критических точек: 3x² - 10x + 3 = 0. Используя дискриминант: D = (-10)² - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64. Критические точки находятся по формуле: x = (10 ± √64) / (2 * 3). 3. Находим корни: x₁ = (10 + 8) / 6 = 3, x₂ = (10 - 8) / 6 = 1/3. Теперь имеем критические точки x = 3 и x = 1/3. 4. Для определения промежутков возрастания и убывания, исследуем знак производной на интервалах, разделяемых критическими точками: - Интервал (-∞, 1/3) - Интервал (1/3, 3) - Интервал (3, +∞) 5. Выбираем тестовые точки в каждом интервале: - Для интервала (-∞, 1/3) выберем x = 0: f'(0) = 3(0)² - 10(0) + 3 = 3 (положительно). - Для интервала (1/3, 3) выберем x = 1: f'(1) = 3(1)² - 10(1) + 3 = -4 (отрицательно). - Для интервала (3, +∞) выберем x = 4: f'(4) = 3(4)² - 10(4) + 3 = 9 (положительно). 6. Таким образом: - Функция возрастает на интервалах (-∞, 1/3) и (3, +∞). - Функция убывает на интервале (1/3, 3). Итак, ответ: функция возрастает на интервалах (-∞, 1/3) и (3, +∞), убывает на интервале (1/3, 3).
