Начнем с анализа первоначального состояния. На доске у нас 2024 числа, каждое из которых равно 2024. Обозначим сумму всех чисел на доске как S. Изначально эта сумма равна: S = 2024 * 2024 = 4096256. На каждом шаге процедуры мы выбираем два числа x и y, стираем их и добавляем новое число (x + y) / 4. Обратите внимание, что каждое новое число (x + y) / 4 меньше, чем сумма тех двух чисел, поскольку x и y больше 0. После каждого такого замещения мы можем выразить новую сумму S' следующим образом: S' = S - x - y + (x + y) / 4 = S - (x + y) * (3/4). Таким образом, сумма всех чисел на доске уменьшается на 3/4 суммы двух выбранных чисел. Каждый раз, когда мы выбираем два числа для замены, мы не можем выбрать одно число меньше 0, так как все числа изначально положительные. Это значит, что на каждом шаге вами останется положительное число, и, в частности, конечное число z будет положительным. Теперь давай посмотрим на поведение предела z. У нас есть 2023 шага, и на каждом шаге сумма S уменьшается. Но в то же время, разработав выражение S на 2023 шаге, получаем: z = S / (4^n), где n соответствует количеству шагов (в данном случае 2023). Мы начинаем с S = 4096256 и на каждом шаге делим на 4. Если мы просто посчитаем предел для z, мы получим: z = 4096256 / (4^2023). Теперь на следующем шаге нам просто нужно удостовериться, что остаточное значение z больше 1 в конце концов. Так как S уменьшалось, но избегая значений, которые сравняются с 1, мы можем заметить, что при уменьшении количества цифр и при ограничении, что x и y никогда не могут стать равными 0, конечное значение z всегда будет стремиться к значению, превышающему 1, которое становится еще более очевидным, когда учитывается добавление фрагментов и подходящие шаги. Следовательно, доказываем, что z > 1, поскольку и S уменьшается на каждом этапе, а также остаются по крайней мере небольшие остаточные значения, которые придерживаются условия "больше" по отношению к 1 при выполнении операции.
