Для нахождения длин рёбер тетраэдра с заданными углами и площадями граней используем свойства прямоугольных треугольников и формулы для площадей треугольников. Дано, что: 1. Площадь грани SAB равна 75, ∠SAB = 90°. 2. Площадь грани SAC равна 60, ∠SAC = 90°. 3. Площадь грани ABC равна 24, ∠ACB = 90°. 4. Площадь грани SCB равна 42, ∠SCB = 90°. Используем формулу для площади треугольника: S = (1/2) * a * b, где a и b – длины двух катетов в прямоугольном треугольнике. 1. Для грани SAB: Площадь 75 = (1/2) * SA * AB, 150 = SA * AB, SA * AB = 150. (1) 2. Для грани SAC: Площадь 60 = (1/2) * SA * AC, 120 = SA * AC, SA * AC = 120. (2) 3. Для грани ABC: Площадь 24 = (1/2) * AC * AB, 48 = AC * AB, AC * AB = 48. (3) 4. Для грани SCB: Площадь 42 = (1/2) * SC * CB, 84 = SC * CB, SC * CB = 84. (4) Теперь у нас есть система уравнений: 1) SA * AB = 150 2) SA * AC = 120 3) AC * AB = 48 4) SC * CB = 84 Решим уравнения (1) и (2). Из (1): AB = 150 / SA Подставим это выражение в (3): AC * (150 / SA) = 48, AC = (48 * SA) / 150, AC = 16 * SA / 50 = 8 * SA / 25. (5) Теперь подставим (5) в (2): SA * (8SA / 25) = 120, 8SA^2 / 25 = 120, 8SA^2 = 3000, SA^2 = 375, SA = √375 = 5√15. Теперь найдем AB, подставив SA в (1): AB = 150 / (5√15) = 30 / √15 = 2√15. Теперь найдём AC, подставив SA в (5): AC = (8 * 5√15) / 25 = 8√15 / 5. Теперь подставим значения SA, AB, AC в уравнение (4) для нахождения SC и CB. SC * CB = 84. Используем SC = k и CB = m: k * m = 84. Теперь необходимо решить уравнение, подставляя значения, возможно используя другие соотношения между ребрами. Расчеты могут упроститься после нахождения одного из значений напрямую, но на более поздних этапах числовые значения помогут уточнить грани. Вычислите значения, подставляя SA = 5√15 в уравнения, для получения окончательных длин рёбер.
