Для нахождения периметра прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и катетами, один из которых на 7 больше другого, начнем с обозначения катетов. Пусть один катет равен x x x, а другой катет, соответственно, будет равен x+7 x + 7 x+7. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: x2+(x+7)2=132 x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 x2+(x+7)2=132. Раскроем скобки: x2+(x2+14x+49)=169 x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169 x2+(x2+14x+49)=169. Соберем подобные члены: 2x2+14x+49=169 2x^2 + 14x + 49 = 169 2x2+14x+49=169. Вычтем 169 из обеих сторон: 2x2+14x+49−169=0 2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0 2x2+14x+49−169=0, 2x2+14x−120=0 2x^2 + 14x - 120 = 0 2x2+14x−120=0. Упростим уравнение, поделив все элементы на 2: x2+7x−60=0 x^2 + 7x - 60 = 0 x2+7x−60=0. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D=b2−4ac=72−4⋅1⋅(−60)=49+240=289 D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 D=b2−4ac=72−4⋅1⋅(−60)=49+240=289. Теперь найдем корни: x=−b±D2a=−7±172 x = \frac{ -b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{ -7 \pm 17}{2} x=2a−b±D=2−7±17. Находим два решения: x1=102=5 x_1 = \frac{10}{2} = 5 x1=210=5 и x2=−242=−12 x_2 = \frac{ -24}{2} = -12 x2=2−24=−12 (отрицательное значение отбрасываем, так как длина катета не может быть отрицательной). Таким образом, один катет равен 5, а другой катет равен 5+7=12 5 + 7 = 12 5+7=12. Теперь можно найти периметр треугольника: Периметр P=a+b+c=5+12+13=30 P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30 P=a+b+c=5+12+13=30. Ответ: периметр этого прямоугольного треугольника равен 30.
