Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами окружностей и теорией о центральных и вписанных углах. 1. Пусть у нас есть две окружности с центрами O1 и O2, которые касаются друг друга в точке A. Прямая, проходящая через A, пересекает первую окружность в точке B и вторую — в точке C. 2. Обозначим: - угол O1AB — центральный угол первой окружности, соответствующий хордe AB. - угол O2AC — центральный угол второй окружности, соответствующий хордe AC. 3. По свойству касания окружностей в точке A, отрезки O1A и O2A перпендикулярны прямой, проходящей через точки A, B и C. Таким образом, отрезки O1A и O2A образуют два угла: O1AB и O2AC. 4. Изгиб каждой окружности в точке касания имеет одинаковый угол, равный 90°, так как радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной в этой точке. Поэтому: - угол O1AB = 90° - угол O1BA - угол O2AC = 90° - угол O2CA. 5. Обозначим углы O1BA и O2CA как β. Поскольку прямая BC проходит через точку A и пересекает обе окружности, эти углы являются внешними углами для соответствующих треугольников O1AB и O2AC. 6. Углы O1AB и O2AC одинаковы, так как они оба равны 90° - β. Следовательно, длины радиусов и углы относятся к каждой окружности соответственно. В итоге, центральные углы O1AB и O2AC равны, что и требовалось доказать.
