Рассмотрим данное тождество: (𝑥 + 𝑦)³ − (𝑥 − 𝑦)³ = 2𝑦(𝑦² + 3𝑥²). Для начала воспользуемся формулой разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), где a = (𝑥 + 𝑦) и b = (𝑥 − 𝑦). 1. Вычислим a - b: (𝑥 + 𝑦) - (𝑥 − 𝑦) = 2𝑦. 2. Теперь найдём a² + ab + b²: a² = (𝑥 + 𝑦)² = 𝑥² + 2𝑥𝑦 + 𝑦², b² = (𝑥 − 𝑦)² = 𝑥² - 2𝑥𝑦 + 𝑦², ab = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥² - 𝑦². Теперь подставим эти выражения: a² + b² + ab = (𝑥² + 2𝑥𝑦 + 𝑦²) + (𝑥² - 2𝑥𝑦 + 𝑦²) + (𝑥² - 𝑦²). Соберем все слагаемые: = 𝑥² + 2𝑥𝑦 + 𝑦² + 𝑥² - 2𝑥𝑦 + 𝑦² + 𝑥² - 𝑦² = 3𝑥² + 𝑦². Итак, подставляя всё это в формулу разности кубов получаем: (𝑥 + 𝑦)³ − (𝑥 − 𝑦)³ = (2𝑦)(3𝑥² + 𝑦²). Мы можем записать это как: = 2𝑦(3𝑥² + 𝑦²). Теперь нужно показать равенство с правой частью уравнения: 2𝑦(𝑦² + 3𝑥²) = 2𝑦(3𝑥² + 𝑦²). Таким образом, обе стороны равенства совпадают. Значит, тождество доказано.
