Давайте докажем данное тождество по шагам. Шаг 1: Раскроем левую часть: (𝑥 + 𝑦)³ и (𝑥 − 𝑦)³. (𝑥 + 𝑦)³ = 𝑥³ + 3𝑥²𝑦 + 3𝑥𝑦² + 𝑦³. (𝑥 − 𝑦)³ = 𝑥³ − 3𝑥²𝑦 + 3𝑥𝑦² − 𝑦³. Шаг 2: Теперь вычтем второе выражение из первого: (𝑥 + 𝑦)³ − (𝑥 − 𝑦)³ = (𝑥³ + 3𝑥²𝑦 + 3𝑥𝑦² + 𝑦³) − (𝑥³ − 3𝑥²𝑦 + 3𝑥𝑦² − 𝑦³). Шаг 3: Упростим это выражение: = 𝑥³ + 3𝑥²𝑦 + 3𝑥𝑦² + 𝑦³ − 𝑥³ + 3𝑥²𝑦 − 3𝑥𝑦² + 𝑦³. = 6𝑥²𝑦 + 2𝑦³. Шаг 4: Теперь упростим правую часть: 2𝑦(𝑦² + 3𝑥²). = 2𝑦² + 6𝑥²𝑦. Шаг 5: Мы видим, что обе стороны равенства совпадают: 6𝑥²𝑦 + 2𝑦³ = 2𝑦(𝑦² + 3𝑥²). Таким образом, тождество доказано.
