Чтобы найти максимальную из ординат вершин четырёхугольника, образованного пересечениями прямых \(y = ax + a\), \(y = ax + b\), \(y = bx + a\) и \(y = bx + b\), давайте сначала найдем все точки пересечения. 1. Первая прямая \(y = ax + a\) пересекается со второй прямой \(y = ax + b\). Эти прямые параллельны, следовательно, нет точки их пересечения. 2. Найдем пересечения других сочетаний: - Пересечение \(y = ax + a\) и \(y = bx + a\): \[ ax + a = bx + a \implies (a - b)x = 0 \implies x = 0. \] Подставляя \(x = 0\) в одну из уравнений, получаем \(y = a\). Точка: \((0, a)\). - Пересечение \(y = ax + a\) и \(y = bx + b\): \[ ax + a = bx + b \implies (a - b)x = b - a \implies x = \frac{b - a}{a - b} = -1 \text{ (при } a \neq b\text{)}. \] Подставляя \(x = -1\) в одно из уравнений, получаем: \[ y = a(-1) + a = 0 \implies \text{точка: } (-1, 0). \] - Пересечение \(y = ax + b\) и \(y = bx + a\): \[ ax + b = bx + a \implies (a - b)x = a - b \implies x = 1 \text{ (при } a \neq b\text{)}. \] Подставляя \(x = 1\) в одно из уравнений: \[ y = a(1) + b = a + b \implies \text{точка: } (1, a + b). \] - Пересечение \(y = ax + b\) и \(y = bx + b\): \[ ax + b = bx + b \implies (a - b)x = 0 \implies x = 0. \] В этом случае \(y = b\) \implies \text{точка: } (0, b). Теперь у нас есть следующие вершины четырёхугольника: 1. (0, a) 2. (-1, 0) 3. (1, a + b) 4. (0, b) Теперь нужно найти диагонали и координаты их пересечения. Вершины четвёртой формируют два треугольника: 1. Точка (0, a) и (-1, 0) 2. Точка (1, a + b) и (0, b) Находим пересечение для диагоналей: Составляем уравнение прямой между (0, a) и (1, a + b): - Уравнение: \(y - a = \frac{(a + b - a)}{1 - 0} (x - 0) \implies y = bx + a\). Составляем уравнение прямой между (-1, 0) и (0, b): - Уравнение: \(y - 0 = \frac{b - 0}{0 + 1} (x + 1) \implies y = -bx - b + b\). Теперь устанавливаем \(bx + a = -bx + b\): \[ bx + bx = b - a \implies 2bx = b - a \implies x = \frac{b - a}{2b}. \] Теперь подставляем \(x\) в любое уравнение для нахождения \(y\): \[ y = b \cdot \frac{b - a}{2b} + a = \frac{b - a}{2} + a = \frac{b + a}{2}. \] Теперь нам нужно определить максимальную ординату среди \(a\), \(0\), \(a + b\) и \(b\): \[ \max(a, 0, a + b, b). \] Так как мы знаем, что \(y
