Для нахождения косинуса угла α между прямыми BN и CM, давай сначала определим координаты точек куба ABCDA1B1C1D1. Пусть A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1). Теперь определим координаты точек N и M: 1. Точка N на ребре B1C1: B1N:NC1 = 1:4 означает, что отрезок B1N в 1 раз меньше отрезка NC1. Поэтому, если B1C1 = 1, то длина отрезка BN = 1/5 и длина отрезка NC1 = 4/5. Соответственно, координаты точки N: N(1, 0, 1 + 1/5) = (1, 0, 1.2). 2. Точка M на ребре C1D1: C1M:MD1 = 1:1 означает, что отрезки CM и MD1 равны между собой. Длина C1D1 равна 1, и тогда CM = MD1 = 1/2. Соответственно, координаты точки M: M(1, 1, 1 - 1/2) = (1, 1, 0.5). Теперь найдем векторы BN и CM: - Вектор BN = N - B = (1, 0, 1.2) - (1, 0, 1) = (0, 0, 0.2). - Вектор CM = M - C1 = (1, 1, 0.5) - (1, 1, 1) = (0, 0, -0.5). Теперь найдем косинус угла между векторами BN и CM. Для этого используем формулу: cos(α) = (BN · CM) / (|BN| |CM|), где BN · CM - скалярное произведение векторов, а |BN| и |CM| - их длины. Сначала найдем длины векторов: |BN| = √(0² + 0² + (0.2)²) = √(0.04) = 0.2. |CM| = √(0² + 0² + (-0.5)²) = √(0.25) = 0.5. Теперь найдем скалярное произведение векторов: BN · CM = (0, 0, 0.2) · (0, 0, -0.5) = 0 * 0 + 0 * 0 + (0.2)(-0.5) = -0.1. Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла: cos(α) = -0.1 / (0.2 * 0.5) = -0.1 / 0.1 = -1. Таким образом, cos(α) = -1, что соответствует прямым, направленным в противоположные стороны.
