Решим уравнение m^2n^2k^2 + m^2n^2 + n^2k^2 + k^2m^2 + m^2 + n^2 + k^2 = 1969. Перепишем уравнение, выделив общие множители: m^2n^2k^2 + (m^2n^2 + n^2k^2 + k^2m^2 + m^2 + n^2 + k^2) = 1969. Здесь видно, что член m^2n^2k^2 отвечает за произведение всех переменных, а остальные - за суммы квадратов. Мы начнем с предположения, что числа m, n, k - небольшие, так как их квадраты будут быстро расти. Попробуем подставить разные целые положительные значения для m, n, k и посчитаем. Например, начиная с базовых случаев: 1. Пусть m = n = k = 1: 1^2 * 1^2 * 1^2 + 1^2 * 1^2 + 1^2 * 1^2 + 1^2 * 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7 2. Пусть m = n = k = 2: 2^2 * 2^2 * 2^2 + 2^2 * 2^2 + 2^2 * 2^2 + 2^2 * 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 = 64 + 16 + 16 + 16 + 4 + 4 + 4 = 120 3. Пусть m = n = 2, k = 3: 2^2 * 2^2 * 3^2 + 2^2 * 2^2 + 2^2 * 3^2 + 3^2 * 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 = 36 + 16 + 12 + 12 + 4 + 4 + 9 = 93 4. Пусть m = 3, n = 3, k = 3: 3^2 * 3^2 * 3^2 + 3^2 * 3^2 + 3^2 * 3^2 + 3^2 * 3^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 = 729 + 81 + 81 + 81 + 9 + 9 + 9 = 999 5. Подобрав числа, чтобы достичь 1969, мы теперь можем взять m = 5, n = 5, k = 5: 5^2 * 5^2 * 5^2 + 5^2 * 5^2 + 5^2 * 5^2 + 5^2 * 5^2 + 5^2 + 5^2 + 5^2 = 3125 + 625 + 625 + 625 + 25 + 25 + 25 = 6250, что слишком много. В результате, можно использовать небольшие значения для получения наибольшей суммы. После подбора различных значений для m, n и k, оказывается, что наилучшее решение для достижения 1969 – это m=5, n=4, k=3. Таким образом, m + n + k = 5 + 4 + 3 = 12.
