Решаем методом математической индукции.
1. Сначала проверим, чему будет равняться выражение для n=1.
1*1! = 1 = (n+1)!−1
Теперь проверим для n=2 - получим ответ 5 = (n+1)!−1
2. Предположим, что 1*(1!)+2*(2!)+3*(3!)+...+n*(n!)= (n+1)!−1 верно для числа n, тогда для числа n+1:
1*(1!)+2*(2!)+3*(3!)+...+n*(n!) + (n+1)*(n+1)! =
= (n+1)!−1 + (n+1)*(n+1)! =
= (1+n+1)*(n+1)! - 1 =
= (n+2)*(n+1)! - 1 = (n+2)! - 1
3. Видим, что предположение выполняется для любого числа n+1, значит, для всякого натурального числа верно равенство: 1*(1!)+2*(2!)+3*(3!)+...+n*(n!)= (n+1)!−1
